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C++ 最大子矩形问题 最大子矩形问题是在一个二维矩阵中寻找一个子矩形，使得该子矩形内所有元素的和最大。这是一个经典的动态规划问题。 问题描述 给定一个 m × n 的整数矩阵，找出其中和最大的子矩形。 解决方案 方法一：暴力解法（时间复杂度 O(m²n²)） #include <iostream>#include <vector>#include <climits>using namespace std;int maxSubRectangle(vector<vector<int>>& matrix) { int m = matrix.size(); if (m == 0) return 0; int n = matrix[0].size(); int maxSum = INT_MIN; // 遍历所有可能的子矩形 for (int top = 0; top < m; top++) { for (int bottom = top; bott ...

C++ GESP 五级：滑动窗口算法详解与例题 什么是滑动窗口算法？ 滑动窗口算法是一种用于处理数组/字符串子区间问题的高效技巧。它通过维护一个窗口（通常是连续的子数组/子字符串），在遍历数据时滑动这个窗口来解决问题，避免重复计算。 滑动窗口算法的基本思想 使用两个指针（left 和 right）表示窗口的左右边界 右指针向右移动扩展窗口 当窗口不满足条件时，左指针向右移动收缩窗口 在窗口滑动过程中记录需要的结果 经典例题与代码实现 例题1：无重复字符的最长子串 问题描述：给定一个字符串，找出其中不含有重复字符的最长子串的长度。 #include <iostream>#include <string>#include <unordered_set>using namespace std;int lengthOfLongestSubstring(string s) { int n = s.length(); if (n == 0) return 0; unordered_set<char> windo ...

初探动态规划 动态规划（dynamic programming）是一个重要的算法范式，它将一个问题分解为一系列更小的子问题，并通过存储子问题的解来避免重复计算，从而大幅提升时间效率。 在本节中，我们从一个经典例题入手，先给出它的暴力回溯解法，观察其中包含的重叠子问题，再逐步导出更高效的动态规划解法。 给定一个共有 nnn 阶的楼梯，你每步可以上 111 阶或者 222 阶，请问有多少种方案可以爬到楼顶？ 如下图所示，对于一个 333 阶楼梯，共有 333 种方案可以爬到楼顶。 本题的目标是求解方案数量，我们可以考虑通过回溯来穷举所有可能性。具体来说，将爬楼梯想象为一个多轮选择的过程：从地面出发，每轮选择上 111 阶或 222 阶，每当到达楼梯顶部时就将方案数量加 111 ，当越过楼梯顶部时就将其剪枝。代码如下所示： /* 回溯 */void backtrack(vector<int> &choices, int state, int n, vector<int> &res) { // 当爬到第 n 阶时，方案数量加 1 if ...

中考英语 as+…+as 用法大全（零基础版） 一、基础核心用法：原级比较 as + 形容词/副词原级 + as 是英语中最基础的原级比较结构，表示 " 和……一样……"。 1.1 肯定句形式 结构：A + 动词 + as + 形容词/副词原级 + as + B 含义：A 和 B 在某方面程度相同 例句： He is as tall as his father.（他和他爸爸一样高。） She runs as fast as a rabbit.（她跑得和兔子一样快。） This book is as interesting as that one.（这本书和那本书一样有趣。） 1.2 否定句形式 结构 1：A + 动词 + not + as + 形容词/副词原级 + as + B 结构 2：A + 动词 + not + so + 形容词/副词原级 + as + B 含义：A 在某方面不如 B（第二种形式更常用） 例句： He is not as/so tall as his father.（他不如他爸爸高。） She does not study as/so hard as ...

手工计算平方根的方法 读者需要已经掌握乘法、除法、加法、减法，并且知道什么是平方数（例如 2×2=42 \times 2 = 42×2=4，4 就是 2 的平方）。 什么是平方根 一个数的平方根，就是 哪个数乘自己等于这个数。 例：3×3=93 \times 3 = 93×3=9，所以 9 的平方根是 3。 例：4×4=164 \times 4 = 164×4=16，所以 16 的平方根是 4。 平方根用符号 x\sqrt{\phantom{x}}x​ 表示。例如 9=3\sqrt{9}=39​=3，16=4\sqrt{16}=416​=4。 有些数的平方根不是整数，例如 2\sqrt{2}2​。1×1=11 \times 1 = 11×1=1 太小，2×2=42 \times 2 = 42×2=4 太大，所以 2\sqrt{2}2​ 在 1 和 2 之间，大约是 1.414。 下面学习四种手工计算平方根的方法。 方法一：分解质因数法（得到最简根式） 这种方法用于把平方根写成 整数乘以根号 的形式，不直接算出小数。 第 1 步：分解质因数 把根号里面的数写成质数相乘。质数 ...

三角函数 前言 三角函数是贯穿数学、物理、工程、计算机的核心工具。 本文以最清晰、最系统、最严谨的结构，从零基础开始，逐步深入到大学精通水平，适合小学生、中学生、大学生、教师与研究者使用。 第一部分 入门篇（小学·零基础） 1 直角三角形是什么 有一个角等于 90∘90^\circ90∘ 的三角形，叫做直角三角形。 直角：90∘90^\circ90∘ 斜边：直角所对的边，永远最长 对边：对着某个锐角的边 邻边：挨着某个锐角的边 2 三角函数的本质 三角函数就是直角三角形中，角与边的比值。 小学只需要认识三个最基本的比： 正弦、余弦、正切。 第二部分 基础篇（初中·会计算） 1 三个基础函数定义 对任意锐角 θ\thetaθ： 正弦 sin⁡θ=对边斜边\sin\theta=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}} sinθ=斜边对边​ 余弦 cos⁡θ=邻边斜边\cos\theta=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} cosθ=斜边邻边​ 正切 tan⁡θ=对边邻边\tan\theta=\frac{\text{对边}} ...

深度优先搜索（DFS）与广度优先搜索（BFS）竞赛复习资料 1.1 DFS 与 BFS 算法概述 1.1.1 什么是搜索算法 搜索算法是一类用于遍历或搜索树/图的算法，按照一定的规则访问图中的每个节点恰好一次。在信息学竞赛中，搜索算法是解决组合优化、状态空间探索等问题的基础工具。搜索算法的核心思想是将问题抽象为一个“状态图”，通过系统地枚举可能的状态来寻找目标状态。 1.1.2 DFS 与 BFS 的核心区别 比较维度 DFS（深度优先搜索） BFS（广度优先搜索） 数据结构 栈（系统栈/手动栈） 队列 空间复杂度 O(h)O(h)O(h)，hhh 为递归深度 O(2h)O(2^h)O(2h)，hhh 为搜索深度 最短路径 不保证最短 保证最短（无权图） 适用场景 全排列、组合、回溯、连通块、状态空间探索 最短路径、最少步数、分层搜索、连通块 特点 一条路走到黑，走不通再回溯 层层扩散，逐层遍历 1.1.3 时间复杂度分析 邻接矩阵存储：DFS 与 BFS 均为 O(V2)O(V^2)O(V2)，其中 VVV 为顶点数 邻接表存储：DFS ...