三角函数

前言

三角函数是贯穿数学、物理、工程、计算机的核心工具。
本文以最清晰、最系统、最严谨的结构，从零基础开始，逐步深入到大学精通水平，适合小学生、中学生、大学生、教师与研究者使用。

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第一部分 入门篇（小学·零基础）

1 直角三角形是什么

有一个角等于 $90^\circ$ 的三角形，叫做直角三角形。

• 直角：$90^\circ$
• 斜边：直角所对的边，永远最长
• 对边：对着某个锐角的边
• 邻边：挨着某个锐角的边

2 三角函数的本质

三角函数就是直角三角形中，角与边的比值。

小学只需要认识三个最基本的比：
正弦、余弦、正切。

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第二部分 基础篇（初中·会计算）

1 三个基础函数定义

对任意锐角 $\theta$：

1. 正弦

$$\sin\theta=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$$

2. 余弦

$$\cos\theta=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$$

3. 正切

$$\tan\theta=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$

2 最基本关系

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

3 特殊角三角函数值（必须背）

角度	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
$0^\circ$	$0$	$1$	$0$
$30^\circ$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{3}$
$45^\circ$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$1$
$60^\circ$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac12$	$\sqrt3$
$90^\circ$	$1$	$0$	不存在

4 基础应用：求边、求角

例：已知 $\angle A=30^\circ$，对边为 $2$，求斜边。

$$\sin30^\circ=\frac{2}{\text{斜边}}$$

$$\frac12=\frac{2}{\text{斜边}}$$

$$\text{斜边}=4$$

例：对边=邻边，求角。

$$\tan\theta=1$$

$$\theta=45^\circ$$

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第三部分 进阶篇（高中·会推导·会应用）

1 角度升级：任意角与弧度制

1.1 任意角

• 逆时针：正角
• 顺时针：负角
• 终边相同：$\theta+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$

1.2 弧度制

$$180^\circ=\pi$$

$$30^\circ=\frac\pi6,\quad 45^\circ=\frac\pi4,\quad 60^\circ=\frac\pi3,\quad 90^\circ=\frac\pi2$$

2 三角函数的真正定义：单位圆

以原点为圆心，半径为 $1$ 的圆叫单位圆。

角 $\theta$ 终边与单位圆交于 $P(x,y)$，则：

$$\sin\theta=y$$

$$\cos\theta=x$$

$$\tan\theta=\frac yx\quad(x\neq0)$$

3 同角三角函数基本关系

1. 平方关系

$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

2. 商数关系

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

4 诱导公式（简化计算）

$$\sin(-\theta)=-\sin\theta$$

$$\cos(-\theta)=\cos\theta$$

$$\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$$

$$\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$$

$$\sin\left(\frac\pi2+\theta\right)=\cos\theta$$

$$\cos\left(\frac\pi2+\theta\right)=-\sin\theta$$

5 三角函数图像与性质

5.1 正弦函数 $y=\sin x$

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$[-1,1]$
• 周期：$2\pi$
• 奇函数

5.2 余弦函数 $y=\cos x$

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$[-1,1]$
• 周期：$2\pi$
• 偶函数

5.3 正切函数 $y=\tan x$

• 定义域：$x\neq\frac\pi2+k\pi$
• 周期：$\pi$
• 奇函数

6 三角恒等变换（高中核心）

6.1 和差角公式

$$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$$

$$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$$

$$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$$

6.2 二倍角公式

$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$

$$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$$

$$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$

6.3 降幂公式

$$\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}$$

$$\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}$$

6.4 辅助角公式

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$$

7 解三角形（高中必考）

7.1 正弦定理

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

7.2 余弦定理

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$$

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$

7.3 三角形面积

$$S=\frac12ab\sin C=\frac12bc\sin A=\frac12ac\sin B$$

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第四部分 精通篇（大学·会分析·会证明）

1 三角函数的导数

$$(\sin x)'=\cos x$$

$$(\cos x)'=-\sin x$$

$$(\tan x)'=\sec^2x=\frac1{\cos^2x}$$

2 三角函数的积分

$$\int\sin x\,dx=-\cos x+C$$

$$\int\cos x\,dx=\sin x+C$$

$$\int\tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C$$

3 泰勒级数（高等数学）

$$\sin x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$$

$$\cos x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$

4 欧拉公式（数学最美公式）

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$

5 棣莫弗公式

$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$$

6 指数形式表示三角函数

$$\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$$

$$\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$$

7 三角函数的高阶应用

• 傅里叶级数
• 微分方程
• 信号处理
• 复变函数
• 波动与振动
• 3D 图形与旋转
• 量子力学与电磁场

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第五部分 总结构建体系

1 学习路径总结

• 入门：认识直角三角形、三个函数名称
• 基础：会算特殊角、会求边求角
• 进阶：单位圆、图像、恒等变换、解三角形
• 精通：微积分、级数、复数、欧拉公式、工程应用

2 核心公式总览

1. $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
2. $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
3. $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$
4. $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$
5. $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
6. $(\sin x)'=\cos x$
7. $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$

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后记

三角函数是连接几何与代数、初等与高等、理论与应用的桥梁。
掌握它，等于打开数学与科学世界的大门。